Hoy ha sido el típico día en que vas a clase (3º ESO, Matemáticas Aplicadas) y te encuentras a un sólo alumno (David) porque el resto están de excursión. En esta tesitura, tienes varias opciones: dar más materia, repasar, poner un examen, perder el tiempo o aprovechar para hacer algo interesante. Hoy, creo, hemos hecho esto último.
En primer lugar, hemos buscado material "low cost"para trabajar. Así, armados con unos folios, unas tijeras y un poco de celofán. hemos estado realizando una actividad relativa a una rama poco difundida de la Matemática: la Topología.
Para empezar, hemos cortado un folio en cuatro bandas (tres cortes a lo largo) y con una de ellas, hemos construido un cilindro (sujetado con el celofán).
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| Fuente: elaboración propia |
Así, en Matemáticas se procura hacer una representación visual de lo que se hace. Una banda se puede representar por un rectángulo. En nuestro caso el
polígono fundamental, es decir la representación para el cilindro es:
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| Fuente: elaboración propia |
Las flechas indican que se unen esos bordes en el mismo sentido. Bien, ahora vamos a liarlo un poco.
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| Fuente: elaboración propia |
Es decir, ahora tengo cuatro flechas, dos en los laterales y dos arriba y abajo que implican que tengo que unir esos 4 bordes. ¿Qué figura me sale?
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| Fuente: elaboración propia |
Tras pensar en 3D un poco, David exclama: "¡un Donut!" Y efectivamente, eso es un Donut:
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| Fuente: Wikipedia |
o, matemáticamente hablando, un
toro que es como se conoce entre los entendidos.
Ahora bien, le intento liar más y dibujo esto:
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| Fuente: elaboración propia |
¿qué obtengo? A pensar. Tras darle unas cuantas vueltas (nunca mejor dicho) a la banda de papel, obtenemos una figura "rara":
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| Fuente: elaboración propia |
Y ¿esto qué es? Pues ni más ni menos que una banda de Moebius.
Así, vamos a ver algunas cosas que tiene esta banda.
Retrocedemos al cilindro y observamos que tiene dos caras y dos bordes. Evidente. ¿Y el donut o toro? Pues tiene dos caras (la de dentro y la de fuera) pero ningún borde.
Ahora bien, ¿cuántas caras tiene la banda de Moebius? ¿Y cuántos bordes? A comprobarlo. Tras razonar un poco, llegamos a la conclusión de que tiene ¡una sola cara y un sólo borde!
Así, ya tenemos resultados:
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| Fuente: elaboración propia |
¿esto qué es? Pues dos cilindros, claro. Ahora:
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| Fuente: elaboración propia |
Pues ni idea. Cuando la mente no funciona, a practicar: usamos las tijeras y a ver qué sale.
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| Fuente: elaboración propia |
Y resulta otra banda de Moebius pero con ¡dos vueltas!
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| Fuente: elaboración propia |
Dejamos a nuestros avezados lectores el obtener el polígono fundamental de esta figura así como el ver cuántas caras y bordes tiene ;-)
Miramos el reloj y vemos que todavía quedan unos 15 minutos de clase. A seguir jugando. Ahora le pido a David que corte una banda de Moebius pero no por el centro como antes sino a una distancia de 1/3 de un lado, es decir:
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| Fuente: elaboración propia |
Cortando, cortando, aparecen como dos aros enganchados uno con el otro:
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| Fuente: elaboración propia |
La más ancha es una banda de Moebius y la estrecha es una banda de Moebius con dos vueltas. Lo comprobamos con el polígono fundamental:
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| Fuente: elaboración propia |
y poco menos que es evidente. A 10 minutos para terminar, decido "terminar" con David y le propongo que me diga qué es esto:
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| Fuente: elaboración propia |
Con humo saliéndole por las orejas, David se queja de que eso es imposible, de que no son horas y demás. Lógico por otra parte. Decido ser benevolente y, en el ordenador, le muestro qué es eso:
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| Fuente: Wikipedia |
Una ¡
botella de Klein!
También, le enseño una representación en 3D con la que vemos exactamente su forma:
Y suena el timbre.
Un tiempo bien aprovechado, digo yo...
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